Diferentes ecuaciones de controladores PID

Para bien o para mal, existen al menos 03 tipos de ecuaciones de controladores PID: ideal, paralela y serie. Algunos controladores tienen los 3 tipos y se puede configurar cual usar, aunque otros solo tiene un solo tipo. Existen mas variaciones de ecuaciones PID, sin embargo estas tres son las que en su mayoria incluyen los controladores.

• Ecuacion PID Paralela 

Esta es la ecuación que hemos usado hasta aqui para estudiar controladores PID, esta es la forma mas simple, algunas veces llamada ecuacion paralela, porque cada accion (P, I y D) estan en terminos separados en la ecuacion, para luego ser sumados:

m = Kp*e + 1/Tiʃ(e)dt + Td*de/dt + b – Ecuacion PID Paralela

En la ecuacion paralela, cada accion (Kp, Ti, Td) es independiente uno del otro. Al principio, esto parece una ventaja dado que si ajustamos un parametro este solo afecta un aspecto del controlador. Sin embargo, hay algunas veces que es mejor tener la ganancia efectando a todos las otras acciones de control. Un ejemplo es cuando variamos la ganancia del proceso o variamos el rango de un transmisor, luego necesitmos re-tunear el controlador para mantener una adecuada performance del controlador, entonces si el controlador tiene la forma paralela entonces tendra que ajustar todos los parametros P, I y D, en cambio si la ecuacion PID usa Kp como factor de los otros tres modos solo tendriaos que ajustar el parametro Kp en el lazo.

Podriamos mostrar la independencia de las tres acciones matematicamente, separando la ecuacion en tres partes diferentes, cada uno describe su contribucion en la salida (Δm):

Δm = KpΔe , Accion Proporcional
Δm = 1/Tiʃ(e)dt , Accion Integral
Δm = Td*de/dt , Accion Derivativa

Como podemos ver, las tres porciones de esta ecuacion PID son completamente separadas, con cada parametro para sintonizar (Kp, Ti, Td) actuando independientemente.

• Ecuacion PID Ideal o ISA

Una alternativa de ecuacion PID es la que tiene el termino de ganancia Kp afectando a las otras tres acciones, esta ecuacion es llamada ecuacion Ideal o ISA.

m = Kp(e + 1/Tiʃ(e)dt + Td*de/dt) + b – Ecuacion PID Ideal o ISA

Aqui, la ganancia Kp es distribuida en todos los terminos y por tanto efecta a los tres termino del PID. Incrementando la ganancia Kp en este tipo de PID hace que todos los terminos P, I y D sean mas agresivos.

Si dividimos la ecuacion y mostramos cada termino del PID, vemos como cada uno contribuye en la salida (Δm)

Δm = KpΔe , Accion Proporcional
Δm = Kp/Tiʃ(e)dt , Accion Integral
Δm = Kp*Td*de/dt , Accion Derivativa

Como se puede apreciar, las tres porciones del PID son influenciadas por la ganancia Kp.

• Ecuacion PID Serie

Un tercera version con origen en controladores neumáticos y circuitos analógicos es llamada Ecuación Serie o Interactiva.

m = Kp[(Td/Ti + 1)*e + 1/Tiʃ(e)dt + Td*de/dt] + b – Ecuacion PID Serie o Interactiva

Aqui la ganacia Kp afecta a los otros tres terminos (P, I y D), como en la ecuacion Ideal. La diferencia, es que tanto la integral como la derivativa tienen un efecto en la accion proporcional tambien. Quiere decir que ajustando Ti o Td esto no solamente efecta estas acciones, sino que tambien influencia en la agresividad de la accion proporcional.

Si dividimos en terminos independientes cada una de las acciones podemos notar mejor su efecto en la salida (Δm)

Δm = Kp(Ti/Td + 1)Δe , Accion Proporcional
Δm = Kp/Tiʃ(e)dt , Accion Integral
Δm = Kp*Td*de/dt , Accion Derivativa

Esta ecuacion interactiva es un artificio para el diseño de controladores neumaticos o analogicos. Si vemos en el pasado, cuando estas tecnologías eras dominantes, y los controladores PID eran modularmente diseñados, por ejemplo la accion integral y derivativa estaban separadas en diferentes modulos de hardware y se vendian a un costo adicional con el controlador proporcional, la manera mas facil de implementar las acciones integral y derivativa era haciendo efecto interactivo con la ganancia del controlador. En otras palabras, esta ecuacion realmente ayudaba a simplificar el diseño fisico del controlador.

En muchos controladores digitales aun se incluye esta forma de ecuacion interactiva para tener un controlador PID identico a los que tiene los controladores analogicos o neumaticos, con el fin de realizar un reemplazo limpio. De esta manera, los parametros de sintonia de los controladores antiguos se pueden utilizar en el nuevo controlador digital, obteniendo o manteniendo la sintonia antingua.

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