Tiempo de Retardo en respuesta de procesos: lag time

21 Julio 2011

Si a una señal de onda cuadrada le aplicamos un circuito RC pasivo, la señal de salida parecerá tener una forma de “diente de sierra”, las forma recta de subida y bajada de la onda cuadrada ha sido remplazado por curvas amortiguadas.

  

 

De hecho, la mayor parte de procesos mecánicos y químicos exhiben una tendencia similar: una “inercial” oposición a los cambios rápidos. Incluso los instrumentos mismos naturalmente amortiguan la señal ante cambios repentinos de estímulos. Y esto lo podemos ver fácilmente exponiendo un transmisor de presión a una serie de pulsos de presión a modo de onda cuadrada, y presenciaremos que la señal de salida será la misma respuesta amortiguada del circuito RC.

 

 

El control de nivel drenado por gravedad mostrado en artículos anteriores (Procesos Integrativos) también muestra una respuesta muy similar ante cambios repentinos en la posición de la válvula de control:

 

 

Para un flujo particular en el recipiente, habrá  un punto final (auto-regulatorio) donde el nivel de líquido “quiere” ser estable. Sin embargo, el nivel de líquido no llega a esta estabilidad inmediatamente cuando la válvula de control cambia a su nueva posición, debido a la “capacidad” del recipiente y el dinamismo de la gravedad del flujo.

 

Cualquier comportamiento físico que muestra este mismo comportamiento en el tiempo puede ser llamado como un FIST-ORDER LAG o retardo de primer orden. Un clásico ejemplo de un retardo de primer orden (fist-order lag) es la temperatura de una tasa de líquido caliente, que gradualmente se va igualando con la temperatura del ambiente donde se encuentra. La temperatura del líquido cae rápidamente al principio, pero luego lento hasta llegar a la temperatura ambiente conforme pasa el tiempo. Esta tendencia natural se describe por la Ley de Newton (Newton’s Law of Cooling), matemáticamente representada como una ecuación diferencial (una ecuación que tiene la variable principal y una o más de sus derivadas). En este caso, es una ecuación diferencial de primer orden, porque contiene la variable temperatura T y su primera derivada de temperatura dT/dt con respecto del tiempo:

 

dT = -k(T-Tambiente)

 

Dónde:

T = Temperatura del líquido en la tasa

Tambiente = Temperatura del ambiente

k = constante que representa la conductividad térmica de la tasa

t = Tiempo

 

Toda esta ecuación nos dice que la tasa de enfriamiento (dT/dt) es directamente proporcional (-k) a la diferencia de temperatura entre el líquido y aire vecino (ambiente) (T- T ambiente). Mientras más caliente este la tasa, más rápido se enfriará.

 

 

La solución general para esta ecuación sería:

T = (Tinicial – Tfinal)(e^t/ Ƭ) + Tfinal

Dónde:

T = Temperatura del líquido en la tasa en un tiempo t

Tincial = Temperatura de inicio del liquido (t=0)

Tfinal = Temperatura final del líquido (del ambiente)

e = constante de Euler

k = constante que representa la conductividad térmica de la tasa

Ƭ = “Constante de tiempo” del sistema

 

Este análisis matemático nos presenta una descripción cuantitativa del sistema: algo llamado CONSTANTE DE TIEMPO. Esta “constante de tiempo” de un sistema de primer orden es la cantidad de tiempo necesario para que el sistema llegue dentro de los 36.8% (e^-1) para alcanzar su valor final (o por ejemplo el tiempo requerido para que la temperatura del sistema pase del 63.2% desde su estado inicial hasta su ultimo valor: 1 – e^-1). Después de dos constantes de tiempo, al sistema estará dentro de los 13.5% para alcanzar su valor final (realizo el 86.5% de su recorrido: 1-e^-2), después de 3 constantes de tiempo, estará dentro del 5% (e^-3) de su valor final, (realizó el 95% de su recorrido: 1 – e^-3). Después de cinco constantes de tiempo, el sistema estará dentro del 1% para llegar a su valor final, lo cual significaría prácticamente que ha llegado al valor “esperado” en términos prácticos.

 

 

El concepto de una “constante de tiempo” se muestra a continuación para variables de su subida como de bajada.

 

Seguramente los estudiantes de electrónica reconocerán inmediatamente este concepto, dado que es ampliamente usado en el análisis y aplicación de circuitos capacitivos e inductivos. Sin embargo, pero debemos saber que en realidad el concepto de una “constante de tiempo” para los circuitos capacitivos e inductivos es SOLO un caso más de un fenómeno general. Literalmente podemos decir que CUALQUIER sistema físico descrito por la ecuación diferencial  de primer orden anterior tiene una “constante de tiempo”. Por lo tanto, es perfectamente válido para nuestro caso (ejemplo de la tasa caliente) decir que la tasa con líquido caliente tiene una constante de tiempo (Ƭ) y la temperatura del líquido dentro de esta estará dentro del 1% de la temperatura ambiente después de cinco constantes de tiempo.

 

En el mundo del Control de Procesos, es mucho más común referirnos a esto como un “lag time” o “tiempo de retardo” que decir “constante de tiempo”, pero en realidad son términos totalmente intercambiables. El término “tiempo de retardo” (lag time) tiene sentido si consideramos un sistema de primer orden conducido a lograr una constante tasa de cambio. Por ejemplo, si a la entra de nuestro circuito RC ponemos una rampa de voltaje (voltaje de aumento constante) en vez de un voltaje de un solo paso (escalón), encontraríamos que la cantidad de tiempo de retardo entre el voltaje de entrada y de salida es igual a ESTA constante de tiempo (en un circuito RC, Ƭ = RC).

 

Entonces el tiempo de retardo o lag time es definido como la diferencia entre el tiempo que la variable de proceso se toma en hacer una rampa constante y el tiempo que la variable de proceso se tomaría en hacer una rampa SI no existiese el retardo de primer orden del sistema (ver grafica arriba). La variable de salida del sistema está retrasada respecto a la rampa de la variable de entrada en una cantidad de Tiempo dado, independientemente de la velocidad de la rampa. Si el proceso en cuestión es un circuito RC, el tiempo de retardo aun será el producto de RC, igual que el tiempo definido para una entrada de voltaje en un paso constante (escalón). Por lo tanto, vemos que “la constante de tiempo” y “el tiempo de retardo” son exactamente el mismo constante, donde simplemente se manifiestan de diferente forma como resultado de dos diferentes condiciones de entrada (un escalón de entrada y un rampa).

 

Cuando un ingeniero o técnico se refiere a un proceso como “rápido” o “lento”, generalmente se refieren a la magnitud de este tiempo de retardo. Esto hace que este “tiempo de retardo” sea importante para la elección de los valores de sintonía de nuestro controlador PID. Las acciones de control Integral y Derivativa son particularmente sensibles a la cantidad de tiempo de retardo en un proceso, dado que ambas acciones son basadas en el tiempo. Los procesos “lentos” (procesos que tienen tiempos prolongados de retardo) no toleran acciones Integrales agresivas, donde el controlador este  “impaciente” para llevar la salida hacia arriba o abajo a una tasa que sea demasiada rápida para una respuesta de proceso. La acción derivativa, sin embargo, es generalmente útil en procesos con tiempo prolongados de retardo.

 

José Carlos Villajulca

Soy un apasionado ingeniero especializado en Control, Automatizacion e Instrumentación Industrial. Con mas 9 años de experiencia desarrollando proyectos y manteniendo sistemas de control en diversas plantas industriales. Soy director y webmaster de InstrumentacionyControl.NET y de MyAutomationClass.com. Cualquier consulta o comentario lo puedes hacer en la parte de abajo y escribiendo nuestro foro: http://instrumentacionycontrol.net/foros/.

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